mouvement d'un point matériel

{\displaystyle {\vec {r}}_{M/(R)}} {\displaystyle {\vec {v}}_{M/R}} → + e T il vient alors successivement par intégration: v R → = → De même pour les lignes u2 variable (de vecteur unitaire e2) et u3 variable (de vecteur unitaire e3). Le mouvement le plus général du référentiel (R') par rapport au référentiel (R) est la combinaison: Le vecteur position de M dans (R) est donné par En effet une trajectoire donnée peut être du point de vue de la géométrie décrite comme un arc orienté[1], le sens d'orientation étant celui du déplacement du point matériel. {\displaystyle {\frac {d{\vec {T}}}{ds}}\cdot {\vec {T}}=0} r z où a est une constante positive et q variant de -p à +p.On suppose d'autre part que le module du vecteur vitesse est toujours proportionnel à r: v =kr, où k est une constante positive.. 1. ′ v + 10.2.2. En considérant des instants de plus en plus rapprochés, et donc en passant à la limite {\displaystyle a_{y0}=g={\text{cte}}} O θ Dans notre programme on s’interesse à la mécanique classique ( ou Newtonnienne) qui s’interesse aux mouvements des corps ayant une vitesse très faible devant celle de la lumière .   en une composante tangentielle, donc colinéaire à u ˙ v → → e De la même façon, on peut définir les paramètres h2 et h3. )   étant une seconde constante d'intégration correspondant à la valeur initiale de {\displaystyle {\vec {v}}} y {\displaystyle {\vec {r}}={\overrightarrow {OM}}} , Introduction à la cinématique du point matériel https://www.facebook.com/profile.php?id=100009085154704 z → {\displaystyle x=f(t),y=g(t),z=h(t)} ˙ ′  , par suite les expressions précédentes se simplifient en: Par intégration[5], le vecteur position devient: Les équations horaires du mouvement peuvent être facilement obtenu en exprimant {\displaystyle {\frac {d{\vec {T}}}{ds}}}  , le point matériel étant lancé avec la vitesse initiale , r {\displaystyle {\vec {e}}_{\phi }} {\displaystyle {\frac {d{\vec {T}}}{ds}}={\frac {\vec {N}}{R}}} Enfin au cours du freinage M parcourt 8m d’un mouvement uniformément retardé jusqu’à l’arrêt. Elle permet d'étudier les relations entre les paramètres permettant de décrire le mouvement (position, vitesse, accélération...) et leurs expressions ou transformations dans divers systèmes de coordonnées ou en cas de changement de référentiel. On dit qu’un point matériel y est en mouvement si l’une au moins de ses coordonnées varie avec le temps. → a =  = cste phi ' représente le couplage de Coriolis (cf plus loin).  , par suite: {\displaystyle {\frac {d{\vec {e}}_{\rho }}{dt}}={\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }} Finalement, la formule de composition des vitesses se met sous la forme: où T {\displaystyle t=t'} 2 La trajectoire dépend du référentiel d’étude. Les coordonnées polaires dans le plan de la trajectoire sont les plus adaptées pour décrire ce type de mouvement. y → Et à colatitude bloquée, on retrouve l'accélération du mouvement circulaire de rayon R = r.sin(theta) (faire attention aux composantes).Enfin, le terme dans a_phi qui fait intervenir theta' . ‖ e M x e y ′  , par suite il vient pour le vecteur vitesse du point matériel dans (R): Par ailleurs r Description du mouvement d'un point matériel Notion de référentiel La description du mouvement d'un point matériel exige de connaître sa position dans l'espace à tout instant. t En règle générale il s'agit d'une hélice circulaire. 0 ( x → Le mouvement d'un point matériel est dit circulaire si sa trajectoire dans un référentiel donné est un cercle (ou un arc de cercle) de centre noté O et de rayon R. Le mouvement circulaire peut être uniforme ou non-uniforme. ′ 0 / R   il est possible d'introduire la base orthonormée locale - Reconnaître le caractère moteur ou résistant d’une force. z  .   depuis la position initiale de coordonnées = ˙ ′ ˙   dans le champ de pesanteur, en négligeant l'influence des forces de frottements. On a donc obtenu aisément l'énergie cinétique d'une masse unité , T . → Ainsi, le point M(t) est toujours élément du plan P d’équation x + y + z = 3. x ) → R → e ( d  , n'est utile que lorsqu'il peut y avoir ambiguïté sur le point matériel considéré et/ou le référentiel d'étude, seule la notation simplifiée suiv. {\displaystyle {\overrightarrow {O'M}}} t Par suite Bloquant u2 et u3, il apparaît que le point matériel se déplace de M en M' infiniment voisin, dans la direction de e1. ˙ {\displaystyle {\vec {a}}} s 0 = θ 2 Cette décomposition permet alors d'étudier les différents paramètres d'un mouvement en ligne droite.   est contenu dans le plan du cercle osculateur et dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire en M, donc selon la normale → ′ II.4. x f ′   est utilisée en général. ′ + r T → d → Définition d'un mouvement conservatif [modifier | modifier le wikicode] Un point matériel a un « mouvement conservatif » dans un référentiel s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou si les éventuelles forces non conservatives ne travaillent pas.. Intégrale 1 ère « énergétique » d'un point matériel à mouvement conservatif [modifier | modifier le wikicode] y {\displaystyle {\tfrac {2\pi }{\omega _{0}}}} Le mouvement d'un point matériel M sous le seul effet d'une force centrale est un exemple de mouvement pour lequel le moment cinétique par rapport au centre de force est conservé [10]. → y {\displaystyle ({\vec {e}}_{r},{\vec {e}}_{\theta },{\vec {e}}_{\phi })} y Par définition, le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse: Physiquement, le vecteur accélération décrit les variations du vecteur vitesse: or celles-ci peuvent se faire en valeur ou/et en direction. e Savoir que la → ′ II.1.   le vecteur position Il est intéressant d'introduire un repère spécifique, appelé trièdre de Serret-Frenet (ou repère de Frenet) permettant d'exprimer de façon intrinsèque, c'est-à-dire indépendamment d'un système de coordonnées particulier, les grandeurs cinématiques que sont la vitesse et l'accélération. Rappel : Mouvement d’un point matériel Le mouvement d’un point matériel est décrit par sa trajectoire et sa vitesse. La notion de point matériel (en anglais point particle) correspond à une idéalisation: on considère que le corps matériel dont on veut décrire le mouvement se réduit à un point géométrique (noté M), auquel on associe la masse m de ce corps (ainsi que sa charge électrique q, le cas échéant). {\displaystyle {\vec {a}}_{M}=a_{x0}\,{\vec {e}}_{x}} 0 Elle constitue un sous-domaine de la cinématique, restreinte au seul point matériel, qui est elle-même une branche de la mécanique.  , etc. {\displaystyle x(t)} → t {\displaystyle {\vec {v}}_{M/(R)}} O → → → {\displaystyle v_{M}={\text{cte}}=v_{x0}} (segment de) droite: mouvement rectiligne; que la valeur de la vitesse soit constante: le mouvement est dit, que la valeur de l'accélération soit constante: le mouvement est dit, le centre de la roue est en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel lié à la route, tandis qu'un point matériel situé à l'extrémité de cette roue aura un mouvement. 2 + v ρ θ Le repère d'espace associé au référentiel (R) est noté Oxyz, celui qui est associé au référentiel (R'), en mouvement par rapport à (R), est noté O'x'y'z'. + y La Un calcul direct prouve que x(t)+y(t)+z(t) = 3. {\displaystyle ({\vec {e}}_{\rho },{\vec {e}}_{\theta },{\vec {e}}_{z})} d ( 2 pour un mouvement dans le plan xOy, c'est-à-dire si ( → M ω s La nature du mouvement dépend bien sûr du point matériel considéré comme du référentiel d'étude, par exemple pour une roue de véhicule roulant sans glisser à vitesse de valeur constante: Un mouvement est dit rectiligne si la trajectoire du point matériel est une droite (un segment de droite en toute rigueur): par suite dans ce type de mouvement la direction du vecteur vitesse Le mouvement d’un point matériel dépend de sa trajectoire et de sa vitesse. M   est le vecteur position de M dans (R') qui s'écrit dans la base du repère d'espace associé à ce référentiel: Un point M animé d’un mouvement rectiligne part sans vitesse. = e → 0 d cte {\displaystyle {\vec {r}}=x{\vec {e}}_{x}+y{\vec {e}}_{y}+z{\vec {e}}_{z}} Mécanique du point Outils mathématiques USTO 6 III -Représentation d’un point Pour pouvoir déterminer les coordonnées de n'importe quel vecteur, il faut choisir au préalable un repère qui est un couple de vecteurs non colinéaires appelé base. x ⁡ ˙ De fait, d'après l'expression intrinsèque du vecteur vitesse → f x M M → Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion: Chap. ′ h , mouvement d’un point matériel Lycée Vauvenargues - Physique-Chimie - PTSI 2 - 2020-2021 Contenuduprogrammeofficiel: Notions et contenus Capacités exigibles Puissanceettravaild’uneforce. N La cinématique du point permet d'introduire les concepts fondamentaux permettant de décrire le mouvement d'un corps matériel, en commençant par le cas le plus simple, celui du point matériel. y ′ {\displaystyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}} ′ = ′ ) L'équation de la trajectoire s'obtient en éliminant t entre les différentes équations horaires, ce qui n'est pas toujours en pratique possible. ) )  , donc avec N a = v R g →  . π , t → → On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cartésiennes sont, à chaque instant: x(t) = a0t2 + x0 , y(t) = - vt et z(t) = z0 avec x0 = 1,0 m, z0 = - 1,0 m, a0 = 2, 0 m.s-2 et v = 3,0 m.s-1. + r → ′ → → → ′ ) = {\displaystyle {\vec {v}}} ˙   et décrivant les variations de la valeur de ce vecteur, et une composante normale, perpendiculaire à = Le démarrage se fait avec une accélération égale 0,8m.s-2. Cette valeur ne dépend évidemment du choix de l'origine de l'abscisse curviligne. ′ → Pour une trajectoire rectiligne, le rayon de courbure est infini en tout point de celle-ci, et le trièdre de Serret-Frenet n'est pas défini. Aussi deux "horloges" associés à deux référentiels différents auront la même marche, c'est-à-dire que le temps s'écoulera "à la même vitesse" dans chacun des deux référentiels. v = On applique la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel galiléen . {\displaystyle x_{0}} Δ Le mouvement par rapport à un référentiel donné (R) étant connu, il est possible de déterminer sa nature par rapport à un autre référentiel (R'). Planeur au décollage : 1. ′ , → + = e ω ω ′ a z {\displaystyle \Delta t\to 0} d ) = 0 ) ), Entrez-le si vous voulez recevoir une réponse, Chapitre 4 : Analyse en repères polaire, cylindrique et sphérique, Séquence 2 cours 1ère Bac Pro Gr A et B - maths, Exercice II Un toboggan de plage (5,5 points), Antilles Guyane 2009 EXERCICE II. a II.2. ˙ un autre formulaire M t = T Ou savez-vous comment améliorerlinterface utilisateur StudyLib? r Δ 2 u O Le principe d’inertie relie les caractéristiques du mouvement du système aux forces extérieures exercées sur lui. v ˙ ˙ y = En dérivant à nouveau, l'accélération s'obtient de la même façon, selon les trois composantes : On note pour mémoire qu'à longitude bloquée, le mouvement se passe dans le plan méridien, et dans ce plan, on retrouve bien l'accélération calculée dans le paragraphe précédent. T → r  . Corrigé : 1. ( x ′ ( ′ v Système et référentiel Le système est l’objet dont on étudie le mouvement Dans les mouvements qui nous concernent au lycée, on assimile le solide à un seul point auquel on attribue toute la masse de l’objet. {\displaystyle {\dot {z}}=v_{0}{\text{ = cste}}} {\displaystyle \theta =\pi /2} Description du mouvement d’un point matériel La mécanique est la partie de la physique qui étudie les mouvement des corps en tenant compte des causes. 3 e x  . e {\displaystyle {\vec {g}}=g{\vec {e}}_{y}} Notion de référentiel Le paramètre h_1 s'appelle paramètre de Lamé. / − v R , {\displaystyle {\vec {a}}={\dot {\dot {x}}}{\vec {e}}_{x}+{\dot {\dot {y}}}{\vec {e}}_{y}+{\dot {\dot {z}}}{\vec {e}}_{z}} z ,   et → ∧ ′ Compte tenu du rôle particulier de l'axe de l'hélice il est possible d'utiliser les coordonnées cylindro-polaires pour décrire ce type de mouvement. v R ˙ s 2 ( {\displaystyle {\vec {e}}_{\rho }=\cos \theta {\vec {e}}_{x}+\sin \theta {\vec {e}}_{y}} e ⋅ e v Lorsqu’on étudie le mouvement d’un solide en mécanique, on repère celui de son centre de gravité G. → t d R = Si étudier le mouvement d'un corps indépendamment de ses causes peut paraître artificiel, les concepts et outils de la cinématique du point sont en fait indispensables pour aborder les autres branches de la mécanique. ) y , → v ′ → {\displaystyle {\vec {r}}} , M La cinématique du point est l'étude du mouvement d'un point matériel indépendamment des causes de ce mouvement. − 0 a {\displaystyle v_{x0}} 2 d = ( ϕ t La vitesse moyenne entre deux positions successives M et M du point matériel se définit comme le rapport entre la distance MM parcourue et la durée v {\displaystyle ({\vec {T}},{\vec {N}},{\vec {B}})} {\displaystyle {\vec {T}}^{2}=1} / v r t t En coordonnées cylindro-polaire 2 0  , où θ est la colatitude et φ l'azimut, auxquelles est associé le repère mobile de base orthonormée → → e a x {\displaystyle {\vec {r}}=R{\vec {e}}_{\rho }} On peut s'essayer avec le système de coordonnées cylindriques. Le rayon R de l'hélice est constant, par suite le vecteur accélération s'écrit dans le cas de ce type de mouvement: Dans le cas particulier important où le mouvement est uniforme, D’UN POINT MATERIEL´ OBJECTIFS Jusqu’à présent, nous avons rencontré deux méthodes pour obtenir l’équation du mouvement d’un point matériel : - l’utilisation du P.F.D. x   et 2 Chapitre 11 : Décrire un mouvement | 13/02/2020 A. Trajectoire Définition : la trajectoire d’un point matériel, dans un référentiel d’étude donné, correspond à la courbe formée par l’ensemble des positions successivement occupées par le point matériel lors de son mouvement.

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